とあるお兄さんの雑記

基本的に技術系の内容を書きますが、何を書くかは私の気分です。

統計学基礎vol8～確率～

統計学

確率

物事の起こりやすさを定量的に表す指標。事象 xの確率を P(x)と書きます。なぜ Pか？確率は英語で Probabilityと書くからです。

確率の公理

  1. どのような事象についての確率も、0以上 1以下
  2. 全事象を \Omegaと表すと、 P(\Omega) = 1である。
  3. 互いに排反な事象の和集合の確率は、それぞれの事象の確率の和となる。つまり、

A\cap B = \varnothingより、 P(A\cup B) = P(A) + P(B)

である。

ちなみに公理というのは、その他の命題を導き出すための前提として導入される基本的な仮定のことを言います。「公理　例」で探せばいろいろ見つかるかと思います。

ラプラスの定義(古典的定義)

ラプラスなんて名前がついていますが、我々が普通に知っているような内容です。

根元事象が n個存在し、そのうち事象 Aに含まれる根元事象が k個の時、事象 Aが起こる確率 P(A)を次のように定義する。

\displaystyle P(A) = \frac{k}{n}

これをラプラスの定義という。


サイコロを例にとれば、根元事象は 6個存在し、そのうち「1の目が出る」事象は1個です。というわけで、

\displaystyle P(1の目が出る) = \frac{1}{6}

になります。

独立

2つの事象について、一方の事象が変化したときにもう一方の事象が変化せず、それが相互に言える場合、この2つの事象は独立であるという。 つまり、お互いの結果が影響し合わないということです。また、独立の時

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

が成り立ちます。

コインの表が「出る事象」とサイコロの「1の目が出る」事象について考えてみましょう。ここで、仮にコインの「表が出る」事象が「裏が出る」という事象に変化したところで、サイコロの1の目がいきなり出やすくなったり、出にくくなることはありません。

また、サイコロの1の目が出る事象がコインの表、裏の出やすさに関連することはありません。このような場合を独立と呼んでいます。

期待値

1回の試行で得られる値の平均値。

条件付き確率

ある事象が起こるという条件の下で、別のある事象が起こる確率のこと。

事象 Bが起こるという条件の下で、事象 Aが起こる場合、

\displaystyle P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

と計算できます。



図にすると分かりやすくなると思います。 前提として、事象 Aと事象 Bは以下の図のようになっており、 (A \cup B)^{c}（ AまたはBの余事象）も含めて全事象を \Omegaとします。

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前提条件

まず、条件付き確率の分母ですが、図にすると以下のようになります。薄く色のついた部分が分母にあたります。

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条件付き確率の分母

次に条件付確率の分子は、図にすると以下のようになります。事象 Aと Bが重なった、紫色の斜線の部分です。

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条件付き確率の分子

この図のように、条件付確率はある事象を満たすもののうち、もう一方の事象にも含まれる確率ともいえます。図にすると結構分かりやすくなりますね。

独立と排反

独立は事象 Aの起こる確率が事象 Bの影響を受けないというものでした。図にすれば以下のようになります。

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独立の例

一方で排反は、事象 Aと事象 Bが互いに排反ならば、事象 Bが起こった時に事象 Aは起こらないというものです。図にすると以下のようになります。

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排反の例

まとめましょう。事象 Aと事象 Bが

独立ならば、 P(A \cap B ) \not = 0

排反ならば、 P(A \cap B ) = 0

です。

乗法定理

\displaystyle P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}の時、

P(A \cap B) = P(B) P(A|B) = P(A) P(B|A)

とできます。単に式変形しただけですね。

まとめ

確率の意味から、乗法定理まで取り上げました。以下、まとめです。

用語 意味
確率 物事の「起こりやすさ」を定量的に表す指標
独立 お互いの結果が影響し合わない事象同士のこと。
P(A\cap B) = P(A) \times P(B) \not = 0
排反 一方の事象が起こった時に、もう一方の事象が
起こらないこと。
P(A\cap B) = P(A) \times P(B) = 0
期待値 1回の試行で得られる値の平均値
条件付き確率 ある事象が起こるという条件の下で、
別のある事象が起こる確率のこと。
\displaystyle P(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
乗法定理 P(A \cap B) = P(B) P(A|B) = P(A) P(B|A)