例題

ある野菜ジュースのアンケート調査を行うと、女性では200人中80人が、男性では300人中60人が買ってみたいと答えた。
この結果からこの野菜ジュースを買ってみたいと答えた割合の差の95%信頼区間はいくらか？

今回はある野菜ジュースを買うか、買わないかの2択ですので、二項分布 $B(n, p)$ に従うと考えることができます。

ここで、確率変数 $X$ が二項分布 $B(n, p)$ に従い、 $n$ が大きい場合、正規分布 $N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)$ に従います。

また、正規分布の再現性から

$\hat{p_1} - \hat{p_2}$ ~ $N\left(p_1 - p_2 , \frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}\right)$

とすることができます。

ここで、前に書いた下記ブログを参考にして式を組み立てていきます。

kurasher.hatenablog.com

母比率の差を求めたいので、

$\displaystyle -Z (\alpha) \leq \frac{(\hat{p_1} - \hat{p_2})- (p_1 - p_2)}{\sqrt{\frac{\hat{p_1}(1-\hat{p_1})}{n_1} + \frac{\hat{p_2}(1-\hat{p_2})}{n_2}}} \leq Z (\alpha)$

と書け、95%信頼区間から、

$\displaystyle -1.96 \leq \frac{(\hat{p_1} - \hat{p_2})- (p_1 - p_2)}{\sqrt{\frac{\hat{p_1}(1-\hat{p_1})}{n_1} + \frac{\hat{p_2}(1-\hat{p_2})}{n_2}}} \leq 1.96$

と書けます。

ここで、女性側を $\hat{p_1}$ 、男性側を $\hat{p_2}$ とすると、

$\hat{p_1} = 0.4$

$\hat{p_2} = 0.2$

$n_1 = 200$

$n_2 = 300$

となります。

あとはこれを計算します。

$\displaystyle (\hat{p_1} - \hat{p_2}) -1.96 \times \sqrt{\frac{\hat{p_1}(1-\hat{p_1})}{n_1} + \frac{\hat{p_2}(1-\hat{p_2})}{n_2}} \leq (p_1 - p_2) \leq (\hat{p_1} - \hat{p_2}) + 1.96 \times \sqrt{\frac{\hat{p_1}(1-\hat{p_1})}{n_1} + \frac{\hat{p_2}(1-\hat{p_2})}{n_2}}$