久々の統計学です。
ブログ自体は時々更新していたんですが、まさか統計学がおろそかになるとは思いませんでした。
何はともあれ、今回は指数分布です。

指数分布とは

連続型確率分布の一つ。
機械が故障してから次に故障するまでの期間や、災害が起こってから次に災害が起こるまでの期間のように

次に何かが起こるまでの期間が従う分布

のことを言う。
また、確率変数 $X$ が指数分布に従っているとき、

$X$ ~ $Ex(\lambda)$

と書く。

指数分布の式

ある期間に平均して $\lambda$ 回起こる現象 $(\lambda$ > $0)$ があり、次に起こるまでの期間 $X$ が指数分布に従うとき、

$\displaystyle f(x) = \lambda \exp(-\lambda x)$

と書ける。ただし、上式は $x \geqq 0$ の場合。

$x$ < $0$ の時、

$\displaystyle f(x) = 0$

である。

指数分布の期待値と分散

期待値

$\displaystyle E[X] = \frac{1}{\lambda}$

分散

$\displaystyle V[X] = \frac{1}{\lambda ^2}$

指数分布の使い方

指数分布は、次に何かが起こるまでの期間を確率で表します。例えば、1時間に平均して10人が来店するお店で、ある客が来てから次の客が来るまでの時間が5分となる確率などです。これの詳しい計算方法は統計Webさんに預けます。

1時間に平均して10人が来店するお店で、ある客が来てから次の客が来るまでの時間が5分となる確率

一方で、ある期間に平均して $\lambda$ 回起こる現象が起こるまでの期間を $X$ としたとき、期間 $X$ が

$x$ 以下

となる確率も求めることが出来ます。

この場合の確率は、

$x$ までの累積分布関数 $F(x)$

で計算可能です。

具体的に見てみましょう。

例えば、先ほどの例のように1時間に平均10人が来る店に、ある客が来てから次の客がくるまでの時間が5分以内となる確率は、下図の灰色の部分の面積になります。 $\lambda = 10$ 、5分で来ることから $\displaystyle x = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ となります。また、5[分]を1/12[時間]に直したのは、 $\lambda$ と単位を合わせるためです。

f:id:kurasher:20200912002510p:plain

この灰色の部分は、0分から5分の間を積分（指数分布は連続型の分布のため）すれば求められそうですね。
そうすると、

$\displaystyle F(x) =\int_{-\infty} ^{x} f(t) \,\, dt$

$\displaystyle = \int_{0} ^{x} \lambda \exp(-\lambda t) \,\, dt$

$\displaystyle = \lambda \left[ -\frac{1}{\lambda} \exp(-\lambda t)\right]_{0} ^{x}$

$= -\exp(-\lambda x) + 1$

$= 1 - \exp(-\lambda x)$

となります。ここで、ある客が来てから次の客がくるまでの時間が5分以内となる確率を求めるので、

$\displaystyle F(x) = P(X \leqq \frac{1}{12})$

$\displaystyle = 1 - \exp(-10 \times \frac{1}{12})$

$= 0.565$

と、求めることが出来ます。

また、ある客が来てから次の客がくるまでの時間が5分以内となる確率が分かるということは、ある客が来てから次の客がくるまでの時間が5分以上となる確率も求めることが可能です。

下の図から、灰色の部分が、ある客が来てから次の客が来るまでの時間が5分以内となる確率でした。
ということは、残りの白い部分の面積が、ある客が来てから次の客がくるまでの時間が5分以上となる確率を表すことになります。

f:id:kurasher:20200912002510p:plain

すなわち、

$\displaystyle F(x) = P(X \geqq \frac{1}{12})$

$\displaystyle = 1 - P(X \leqq \frac{1}{12})$

$= 1 - 0.565 = 0.435$

と計算できるわけですね。

コラム：指数分布とポアソン分布の違い

指数分布とポアソン分布は非常に似ています。
どちらもある期間に平均して $\lambda$ 回起こる現象というところまでは一緒です。が、

指数分布：次に起こるまでの期間に関する分布
ポアソン分布：ある期間に起こる回数に関する分布
という違いがあります。

これといった覚え方はないのですが、

指数分布　　　→　連続型の分布　→　期間、時間に関するもの
ポアソン分布　→　離散型の分布　→　回数に関するもの

という感じでしょうか？

まとめ

今回は指数分布についてまとめました。ついでなので、ポアソン分布もまとめておきます。

用語	意味
指数分布	次に何かが起こるまでの期間が従う分布
指数分布の表し方	$X$ ~ $Ex(\lambda)$
指数分布の期待値	$\displaystyle E[X] = \frac{1}{\lambda}$
指数分布の分散	$\displaystyle V[X] = \frac{1}{\lambda ^2}$
---	---
ポアソン分布	ある期間に平均 $\lambda$ 回起こる現象が、ある期間に $X$ 回起きる確率を表した分布
ポアソン分布の表し方	$X～Po(\lambda)$
ポアソン分布の確率	$\displaystyle P(X = k) = \exp(- \lambda) \frac{\lambda ^k }{k!}$
ポアソン分布の期待値	$E[X] = \lambda$
ポアソン分布の分散	$V[X] = \lambda$