今回も一様分布です。前回は離散一様分布だったので、今回は連続一様分布です。

一様分布とは

全ての事象が起こる確率が等しい分布のこと。

連続一様分布の式

確率変数 $X$ が $a \leqq X \leqq b$ における連続一様分布に従うとき、

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{b-a}$

と表される。

また、 $X$ < $a、b$ < $X$ のとき

$f(x) = 0$

連続一様分布の期待値と分散

一様分布に関しては簡単なので、求めてみましょう。

期待値

$\displaystyle E[X] = \int_{a} ^{b} x\times \frac{1}{b-a} \,\, dx$

$\displaystyle = \frac{1}{b-a} \int_{a} ^{b} x \,\,dx$

$\displaystyle = \frac{1}{b-a} \times \left[\frac{x ^2}{2} \right]_a ^b$

$\displaystyle = \frac{1}{b-a} \times \frac{b ^2 - a ^2}{2}$

$\displaystyle = \frac{1}{b-a} \times \frac{(b-a)(b+a)}{2}$

$\displaystyle = \frac{a+b}{2}$

分散

分散も求めてみましょう。

まずは分散の定義から。

$V[X] = E[(X - E[X]) ^2]$

$= E[(X - \mu) ^2]$

$\displaystyle = E \left [ \left(X - \frac{a+b}{2} \right) ^2 \right]$

$\displaystyle = \int_{a} ^{b} \left(x -\frac{a+b}{2} \right) ^2 \frac{1}{b-a} \,\, dx$

$\displaystyle = \frac{1}{b-a} \left[\frac{1}{3} \left(x-\frac{a+b}{2}\right) ^3\right]_a ^b$

$\displaystyle = \frac{1}{b-a} \times \frac{1}{3} \times \left\{ \left(\frac{b-a}{2}\right) ^3 - \left(\frac{a-b}{2}\right) ^3 \right\}$

$\displaystyle = \frac{1}{b-a} \times \frac{1}{3} \times \left\{ \left(\frac{b-a}{2}\right) ^3 + \left(\frac{b-a}{2}\right) ^3 \right\}$

$\displaystyle = \frac{1}{b-a} \times \frac{1}{3} \times \left\{ 2 \times \left(\frac{b-a}{2}\right) ^3 \right\}$

$\displaystyle = \frac{1}{b-a} \times \frac{1}{3} \times \frac{\left(b-a\right) ^3}{4}$

$\displaystyle = \frac{\left(b-a\right) ^2}{12}$

コラム：連続一様分布の累積分布関数

$X$ がとる値 $x$ の範囲	累積分布関数 $F(x)$
$x$ < $a$	0
$a \leqq x$ < $b$	$\displaystyle \frac{x-a}{b-a}$
$b \leqq x$	1

と、書きましたが、こんなので理解していただけるわけないので。ちゃんと計算してみましょう。

確率密度関数は $\displaystyle f(t) = \frac{1}{b-a}$ です。ただし、 $a \leqq x \leqq b$ とします。

加えて、連続型の累積分布関数 $F(x)$ は

$\displaystyle F(x) = \int_{-\infty} ^{x} f(t) \,\, dt$

で求められます。

この時、表のように範囲を区切って積分を行うと、積分範囲が

$x$ < $a$ のとき

$\displaystyle F(X) = \int_{-\infty} ^{x} f(t) \,\, dt$

$\displaystyle F(X) = \int_{-\infty} ^{a} f(t) \,\, dt$

$\displaystyle = \int_{-\infty} ^{a} 0 \,\, dt$

$\displaystyle = 0$

$a \leqq x$ < $b$ のとき

$\displaystyle F(X) = \int_{-\infty} ^{x} f(t) \,\, dt$

$\displaystyle = \int_{-\infty} ^{x} \frac{1}{b-a} \,\, dt$

$\displaystyle = \frac{1}{b-a} \int_{a} ^{x} 1 \,\, dt$

$\displaystyle = \frac{1}{b-a} [ t ]_{a} ^{x}$

$\displaystyle = \frac{1}{b-a} \left( x-a \right)$

$\displaystyle = \frac{x-a}{b-a}$

$b \leqq x$ のとき

$\displaystyle F(X) = \int_{-\infty} ^{x} f(t) \,\, dt$

$\displaystyle = \int_{-\infty} ^{x} \frac{1}{b-a} \,\, dt$

$\displaystyle = \frac{1}{b-a} \int_{a} ^{b} 1 \,\, dt$

$\displaystyle = \frac{1}{b-a} [ t ]_{a} ^{b}$

$\displaystyle = \frac{1}{b-a} \left( b-a \right)$

$= 1$

まとめ

今回は、連続一様分布でした。以下、まとめです。

用語	意味
一様分布	全ての事象が起こる確率が等しい分布
連続一様分布の式	$\displaystyle f(x) = \frac{1}{b-a}$
連続一様分布の期待値	$\displaystyle E[X] = \frac{a+b}{2}$
連続一様分布の分散	$\displaystyle V[X] = \frac{\left(b-a\right) ^2}{12}$