今回は一様分布です。一番有名で身近な一様分布って実は裏・表のあるコインだったりして。

一様分布とは

全ての事象が起こる確率が等しい分布のこと。
イメージしやすいのはサイコロでしょうか。
サイコロは形がいびつなものでない限りはどの目が出る確率も $\displaystyle \frac{1}{6}$ になります。

一様分布には離散と連続の場合がありますが、今回は離散一様分布だけ取り上げます。連続分布は次回あたりに。

離散一様分布の式

離散一様分布は次の式で表される。

$\displaystyle P(X = k) = \frac{1}{N}$

ただし、 $k = 1, 2, \dots, N$ である。
$N = 6$ の時は、我々がよく知るサイコロですね。

離散一様分布の期待値と分散

一様分布に関しては簡単なので、求めてみましょう。

期待値

$\displaystyle E[X] = \sum_{i=1} ^{N} i\times \frac{1}{N}$

$\displaystyle = \frac{1}{N} \sum_{i=1} ^{N} i$

$\displaystyle = \frac{1}{N} \times \frac{N(N+1)}{2}$

$\displaystyle = \frac{N+1}{2}$

分散

分散も求めてみましょう。

まずは分散の定義から。

$V[X] = E[(X - E[X]) ^2]$

$V[X] = E[X ^2] - (E[X]) ^2$

$E[X]$ は求めているので、 $E[X ^2]$ を求めましょう。

$\displaystyle E[X ^2] = \sum_{i=1} ^{N} i ^2 \frac{1}{N}$

$\displaystyle = \frac{1}{N} \sum_{i=1} ^{N} i ^2$

$\displaystyle = \frac{1}{N} \times \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$

$\displaystyle = \frac{(N+1)(2N+1)}{6}$

よって、

$V[X] = E[X ^2] - (E[X]) ^2$

$\displaystyle = \frac{(N+1)(2N+1)}{6} - \left( \frac{N+1}{2} \right) ^2$

$\displaystyle = \frac{N+1}{12} \{2(2N+1)-3(N+1)\}$

$\displaystyle = \frac{N+1}{12} (4N+2-3N-3)$

$\displaystyle = \frac{N+1}{12} \times (N-1)$

$\displaystyle = \frac{N ^2 - 1}{12}$

kが1から始まらないときの離散一様分布

考えてみれば当たり前のような気がしますが、 $k$ の始まりが常に1とは限りません。その場合の一様分布の式と、期待値、分散を見てみましょう。

$\displaystyle P(X = k) = \frac{1}{b-a+1}$

ただし、 $k = a, a+1, \dots, b$ である。

kが1から始まらないときの期待値

$\displaystyle E[X] = \sum_{i=a} ^{b} \frac{i}{b-a+1}$

ここで、始めの値が $a$ 、終わりの値が $b$ で、数値が $N$ 個あるので、

$\displaystyle \sum_{i=a} ^{b} i = \frac{(b-a+1)(b + a)}{2}$

とできます。なぜ上のように計算できるかというのは、高校数学の美しい物語～等差数列の和の公式の例題と証明など～の視点1：台形バージョンに書かれています。

高校数学の美しい物語～視点1：台形バージョン

(種明かしすれば、等差数列の初項を $a_1$ 、末項を $a_l$ 、初項から末項までの数値の個数が $n$ の時、
$\displaystyle \frac{n(a_1 + a_l)}{2}$

と表せます。)

というわけで、期待値は、

$\displaystyle E[X] = \sum_{i=a} ^{b} \frac{i}{b-a+1}$

$\displaystyle = \frac{1}{b-a+1} \times \frac{(b-a+1)(b + a)}{2}$

$\displaystyle = \frac{a + b}{2}$

となります。

kが1から始まらないときの分散

$V[X] = E[X ^2] - (E[X]) ^2$

$\displaystyle = \frac{(b-a+1) ^2 -1}{12}$

です。

この分散ですが、 $k=1$ から始まるときと $k=1$ から始まらないときとで、違いをよくよく観察してみると、 $N = b-a+1$ に置き換わっていますね。

まとめ

今回は（離散）一様分布でした。次回は連続一様分布ですね。

用語	意味
一様分布	全ての事象が起こる確率が等しい分布
$k = 1, 2, \dots, N$ の時
一様分布の式	$\displaystyle P(X = k) = \frac{1}{N}$
離散一様分布の期待値	$\displaystyle E[X] = \frac{N+1}{2}$
離散一様分布の分散	$\displaystyle V[X] = \frac{N ^2 - 1}{12}$
$k = a, a+1, \dots, b$ の時
一様分布の式	$\displaystyle P(X = k) = \frac{1}{b-a+1}$
離散一様分布の期待値	$\displaystyle E[X] = \frac{a+b}{2}$
離散一様分布の分散	$\displaystyle V[X] = \frac{(b-a+1) ^2 - 1}{12}$