とあるお兄さんの雑記

基本的に技術系の内容を書きますが、何を書くかは私の気分です。

統計学に出てくる各分布の概要

統計学

統計学における代表的な分布の概要です。詳しい説明は書いていません。

ベルヌーイ分布

  • Ber(p)
  • 成功する確率がpである試行を(1回)行なった時に成功するかしないか
  • 離散分布
  • 確率質量関数　 f(x) = P(X = x) = p
  • 期待値　 E[X] = p
  • 分散　　 V[X] = p(1-p)
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2項分布

  • Bin(n,p)
  • 成功する確率が pである試行を n回行なった時の成功の数の分布
  • 離散分布
  • 確率質量関数　 f(x) = P(X = x) = _{n}C_{x} p(1-p)^{(n-x)}
  • 期待値　 \displaystyle E[X] = np
  • 分散　　 \displaystyle V[X] = np(1-p)
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幾何分布

  • Geo(p)
  • 成功する確率が pである試行を続けて、 x回目で初めて成功するときの xの分布
  • 離散分布
  • 確率質量関数　 f(x) = P(X = x) = p(1-p)^{(x-1)}
  • 期待値　　 \displaystyle E[X] = \frac{1}{p}
  • 分散 \displaystyle V[X] = \frac{1-p}{p^{2}}
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ポアソン分布

  • Po(\lambda)
  • 単位時間あたりに平均 \lambda回起こる現象が、単位時間中に x回起きる回数の分布
  • 離散分布
  • 確率質量関数　 \displaystyle f(x)=P(X = x) = \exp(-\lambda) \frac{\lambda^{x}}{x!}
  • 期待値　 E[X] = \lambda
  • 分散　　 V[X] = \lambda
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一様分布

  • U(a,b)
  • 変数の幅を固定した場合にどこでも確率が一定となる分布
  • 離散分布、連続分布
  • 確率質量（密度）関数　 \displaystyle f(x) = P(X = x) = \frac{1}{b-a}
  • 期待値　 \displaystyle E[X] = \frac{a+b}{2}
  • 分散　　 \displaystyle V[X] = \frac{(b-a)^{2}}{12}
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    離散一様分布
    連続一様分布

指数分布

  • Exp(\lambda)
  • 単位時間当たりの生起回数が期待値 \lambdaのポアソン分布に従うような事象が初めて生起するまでの待ち時間 tの分布
  • 連続分布
  • 確率密度関数 f(x) = P(X = x) = \lambda \exp(-\lambda x)
  • 期待値　 \displaystyle E[X] = \frac{1}{\lambda}
  • 分散　　 \displaystyle V[X] = \frac{1}{\lambda^{2}}
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正規分布

  • N(\mu, \sigma^{2})
  • 期待値 \mu付近に集積するような連続値変数の分布
  • 連続分布
  • 確率密度関数　 \displaystyle f(x) = P(X = x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp \left\{\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}} \right\}
  • 期待値　 \displaystyle E[X] = \mu
  • 分散　　 \displaystyle V[X] = \sigma^{2}
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